Thème 2 : Situations Recherche en classe

Ce que nous désignons par « situations de recherche pour la classe » (SRC) est précis, nous les distinguons des « situations-problèmes » et « problèmes ouverts » qui sont décrits dans d'autres travaux de didactique des mathématiques. Il s'agit d'un modèle dont nous avons donné une caractérisation dans Grenier et Payan (2003), reprise dans Godot et Grenier (2004) et Grenier et Payan (2007). Une des questions actuelles qui se posent est celle de l'intégration de ces SRC dans des « parcours d'étude et de recherche » (PER) (Matheron et Noirfalise, actes du colloque TAD, Usèz, 2007, à paraître).

Reprenons ici la caractérisation d'une SiRC développée dans Grenier et Payan (2003).
1. Une « situation recherche » s’inscrit dans une problématique de recherche professionnelle. Elle doit être proche de questions non résolues. Nous faisons l’hypothèse que cette proximité à des questions non résolues — non seulement pour les élèves, pour l’ensemble de la classe, mais aussi pour l’enseignant, les chercheurs — va être déterminante pour le rapport que vont avoir les élèves avec la situation.
2. La question initiale est facile d’accès : la question est « facile » à comprendre. Pour cela, le problème doit se situer hors des mathématiques formalisées et c’est la situation elle-même qui doit « amener » l’élève à l’intérieur des mathématiques.
3. Des stratégies initiales existent, sans que soient indispensables des prérequis spécifiques. De préférence, les connaissances scolaires nécessaires pour initier la résolution sont élémentaires.
4. Plusieurs stratégies d’avancée dans la recherche et plusieurs développements sont possibles, aussi bien du point de vue de l’activité (construction, preuve, calcul) que du point de vue des notions mathématiques en jeu.
5. Une question résolue renvoie très souvent une nouvelle question. La situation n’a pas de « fin ». Il n’y a que des critères de fin locaux. L'objectif premier est donc la résolution (au moins partielle) d'une question dont on ne connaît pas la réponse, et non l'apprentissage ou le travail d'une notion mathématique désignée. Une “bonne” SRC va conduire l'élève à pratiquer les savoir-faire transversaux décrits ci-dessus. Les pistes de résolution peuvent diverger et donc mettre en jeu des concepts mathématiques différents. Trois aspects fondamentaux sont présents dans nos SRC, qui sont peu présents, voire absents, dans la classe usuelle.

• L’ « enjeu de vérité ». En classe, usuellement, ce qui est à prouver est la plupart du temps annoncé comme vrai (« démontrer que »), il n’y a pas d’enjeu de vérité. Ou bien, lorsque la question est ouverte, la réponse est évidente (« que constatez-vous ? », en regardant une figure, par exemple).
• L’aspect « social » de l’activité. Dans une SRC, il peut y avoir un vrai enjeu social de production mathématique, même s’il est local (groupe + professeur et/ou chercheur).
• L’aspect « recherche ». Dans les manuels et les pratiques enseignantes, il est explicitement déclaré que, pour résoudre un problème et aussi pour prouver, « on ne doit utiliser que les propriétés du cours ou celles d'une liste donnée ». Cette consigne est contradictoire avec l’activité du chercheur et avec la démarche scientifique.

Les situations que nous avons étudiées ne vérifient pas forcément tous les éléments de caractérisation de notre modèle SRC, mais celui-ci nous sert de référence épistémologique et didactique. Les caractéristiques et contraintes d'une SRC impliquent des organisations didactiques et mathématiques spécifiques. Notre équipe s'attache depuis des années à l'étude des conditions de transmission de ces situations. Nous disposons actuellement d' « analyses a priori » fiables pour quelques-unes d'entre elles, résultats de nombreuses expérimentations menées dans des institutions et à niveaux scolaires très différents. Citons ici une des premières SRC que nous avons étudiées, qui se décrit en un ensemble de plusieurs situations de pavages de polyminos par d'autres polyminos et que nous considérons comme fondamentale pour les objectifs que nous visons.

Cet ensemble de situations de pavage ont été expérimentées pendant des années avec des élèves de l’école primaire et du secondaire, des étudiants jusqu’en 5ème année d’université et des enseignants-stagiaires dans les Instituts Universitaires de Formation des maîtres (IUFM). Elles sont maintenant devenues classiques dans certains de nos modules optionnels à l’université.

L'intégration des SRC dans des cursus d'enseignements optionnels
Certaines de nos SRC sont intégrées dans des cursus :
− un module « option sciences » en seconde (dans deux lycées de notre académie),
− une unité d'enseignement optionnelle (UEO), intégrée dans les deux premiers niveaux de la licence scientifique et technique (LST de l'université Grenoble 1),
− une UE d'« introduction aux métiers de l 'éducation (METEDUC)» en 3ème année de Licence (L3) de mathématiques,
− et enfin, quelques séances en formation initiale ou continue des enseignants.
Des évaluations ont pu être faites, certains imposées par les institutions, aussi bien du point de vue des apprentissages (« examen » et note finale pour les étudiants en LST), que du point de vue des « formés » (enquête auprès des enseignants). La question de l'évaluation des apprentissages transversaux est bien sûr complexe.

Ces SRC se situent pour nous en complément des enseignements traditionnels et ne les remplacent pas. En effet, leur spécificité même (décrite dans Grenier et Payan, 2002) crée une double « contrainte » :
− les apprentissages visés sont avant tout « transversaux » au sens décrit ci dessus, et non notionnels, même si évidemment, des notions sont présentes et étudiées ;
− l'organisation didactique de la classe pour une SRC ne peut être généralisée à tout le cursus, à cause du temps qu'elle nécessite et de la « position » particulière de l'enseignant : de détendeur de savoir, il devient directeur d'étude.

Pour qu'un problème soit dévolu comme une situation de recherche, il ne faut pas que l'élève puisse l'associer, de manière évidente, à des théorèmes de cours, ou à une technique bien installée, ou encore à un modèle évident, ces éléments risquant de « tuer» la recherche au profit de l'application de connaissances toutes prêtes, relevant d'une « boîte à outils » mathématique. C'est une des raisons pour lesquelles nos SRC se situent très souvent dans des contextes de mathématiques discrètes (mathématiques du dénombrable et des entiers, mais aussi de la géométrie combinatoire et des graphes), domaine non enseigné en France et permettant de poser des questions accessibles sans pré-requis élevés. Nos travaux futurs auront pour objectif de montrer en quoi ces SRC sont utiles voire nécessaires dans l'enseignement, à tous les niveaux, car elles peuvent pallier à des manques évidents de nos curricula traditionnels (pour ceux francophones : France, Québec, Mali, Belgique). Nous affirmons que certains de ces savoirs transversaux ne peuvent être acquis autrement que par des situations relevant (plus ou moins) du modèle SRC. En effet, par exemple, l'apprentissage du processus de preuve (comprenant argumentations, conjectures, exemples, contre-exemples, preuve) n'est pas dans les meilleures conditions si les notions concernées par le problème à résoudre sont trop complexes. Il s'agit ici de ne pas confronter l'élève à un double apprentissage trop difficile, celui du raisonnement et de la preuve, et celui de la notion en jeu.

Pour la recherche à venir : Etudier comment et en quoi la mise en situation des élèves et étudiants dans ces SRC modifient leur rapport aux mathématiques et leur intérêt pour cette discipline, et faire des propositions et des pistes pour une formation des enseignants à la gestion des SRC.

Références

Godot, K. et Grenier, D. (2004), Research Situations for teaching : a modelization proposal and examples, Proceedings of the 10th International Congress for Mathematics Education, ICME 10, Copenhague.

Grenier, D. (2001), Learning proof and modeling. Inventory of fixtures and new problems. Proceedings of the 9th International Congress for Mathematics Education, ICME 9, Tokyo.

Grenier, D. (2006), Des problèmes de recherche pour l'apprentissage de la modélisation et de la preuve en mathématique. Actes du colloque de l'Association Mathématique du Québec (AMQ), Sherbrooke, june 2006.

Grenier, D. (2008), Expérimentation et preuves en mathématiques, in Didactique, épistémologie et histoire des Sciences, PUF, collection « Sciences, homme et société » (L. Viennot ed).

Grenier, D. et Payan, Ch. (1998), Spécificités de la preuve et de la modélisation en mathématiques discrètes. Recherches en didactiques des mathématiques, Vol. 18, n°1, pp. 59 99.

Grenier, D. et Payan, Ch. (2003), Situation de recherche en classe : essai de caractérisation et proposition de modélisation, cahiers du séminaire national de recherche en didactique des mathématiques, Paris, 19 Octobre 2002.

Grenier, D., Payan, Ch. (2007), Des « situations recherche » pour l’apprentissage des savoirs transversaux, actes du congrès international EMF enseignement des mathématiques francophone, Sherbrooke, mai 2006.

Lakatos, I. (1984), Preuves et réfutations. Trad. de N. Balacheff et J.-M. Laborde. Paris : Éditions Hermann, coll. Actualités scientifiques et industrielles.

Matheron, Y., Noirfalise, R. (à paraître), dynamiser l'étude des mathématiques dan sl'enseignement secondaire (collège et lycée) par la mise en place d'AER et de PER, commission inter-IREm didactique. Actes du colloque TAD, Usèz, octobre 2007.

Tanguay, D. (2007), Learning Proof: from Truth towards Validity. Proceedings of the Xth Conference on Research in Undergraduate Mathematics Education (RUME), San Diego State University, San Diego, Californie. On the Web, 15 pages.

Ouvrier-Buffet, C. (2006), Exploring Mathematical Definition Construction Processes. Educational Studies in Mathematics, Vol. 63, n°3, pp. 259-282.

Ouvrier-Buffet, C. (2007), Des définitions pour quoi faire ? Analyse épistémologique et utilisation didactique, Education et sciences, ed Fabert.